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高中数学复数运算公式有哪些

栏目:高中数学时间:2019-06-23

复数

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考试内容:复数的概念;复数的加法和减法;复数的乘法和除法;数系的扩充。

复数知识要点:复数是高中代数的重要内容,在高考试题中约占8%-10%,一般的出一道基础题和一道中档题,经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念,复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组,数形结合,分域讨论,等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数,三角,解析几何知识,相互转化的枢纽,这对拓宽学生思路,提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程,方程组,不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.

1.知识网络图

复数知识点网络图

  2.复数中的难点

  (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明.

  (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练.

  (3)复数的辐角主值的求法.

  (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.

  3.复数中的重点

  (1)理解好复数的概念,弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.

  (2)熟练掌握复数三种表示法,以及它们间的互化,并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数,向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化,以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到,是一个重点内容.

  (3)复数的三种表示法的各种运算,在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容,掌握复数各种形式的运算,特别是复数运算的几何意义更是重点内容.

  (4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

4. ⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即.

⑵复数及其相关概念:

①   复数—形如a + bi的数(其中);

②   实数—当b = 0时的复数a + bi,即a;

③   虚数—当时的复数a + bi;

④   纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi,即bi.

⑤   复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)

⑥   复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义:

.

⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.

注:①若为复数,则,则.(×)[为复数,而不是实数]

,则.(√)

②若,则的必要不充分条件.(当

时,上式成立)

5. ⑴复平面内的两点间距离公式:.

其中是复平面内的两点所对应的复数,间的距离.

由上可得:复平面内以为圆心,为半径的圆的复数方程:.

⑵曲线方程的复数形式:

为圆心,r为半径的圆的方程.

表示线段的垂直平分线的方程.

为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若,此方程表示线段).

表示以为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若,此方程表示两条射线)选自.高三网上补课1对1 www.gkfda.com .

⑶绝对值不等式:

是不等于零的复数,则

.

左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.

.

左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.

注:.

6. 共轭复数的性质:

                                          

a + bi)              

                                 

)                             

注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]

7 ⑴①复数的乘方:

②对任何

 

注:①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如若由就会得到的错误结论.

②在实数集成立的. 当为虚数时,,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论:

   

是1的立方虚数根,即,则                                                  .

8.  ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件:

.

②若是纯虚数.

⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数. 特例:零向量的方向是任意的,其模为零.

注:.

9. ⑴复数的三角形式:.

辐角主值:适合于0≤的值,记作.

注:①为零时,可取内任意值.

②辐角是多值的,都相差2的整数倍.

③设.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化:

.

⑶几类三角式的标准形式:

10. 复数集中解一元二次方程:

在复数集内解关于的一元二次方程时,应注意下述问题:

①当时,若>0,则有二不等实数根;若=0,则有二相等实数根;若<0,则有二相等复数根为共轭复数).

②当不全为实数时,不能用方程根的情况.

③不论为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.

11. 复数的三角形式运算:

 

棣莫弗定理:

 

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